Question

若

C

2 3

+

C

2 4

+C

2 5

+…+

C

2 n

=363，则自然数n=（　　）

A．11

B．12

C．13

D．14

Answer 1

分析：根据题意，现将原等式变形为C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，再利用组合数的性质C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，可得

C

3 3

+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=C_n+1³，则原等式可化为C_n+1³=364，解可得答案．

解答：解：由C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=363，
则1+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，即C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，
又由C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，则

C

3 3

+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²+…+C_n²=C_n+1³，
原式可变形为C_n+1³=364，
化简可得

(n+1)n(n-1)

3×2×1

=364，
又由n是正整数，解得n=13，
故选C．

点评：本题考查组合数的性质，解题的关键在于利用C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，将原式变形，需注意C_n+1³=364的解法，是基础题．