题目内容
18．在平面直角坐标系xOy中，以O为原点，以x轴正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ+3=0，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若点A，B是曲线C上的两动点，点P是直线l上一动点，求∠APB的最大值．
分析 （1）将ρ2=x2+y2，ρsinθ=y代入极坐标方程得出曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程两式相加消去参数t，得到直线l的普通方程；
（2）计算圆心C到直线l的距离可知直线与圆C相离，过P做圆C的切线，则当OP最小，A，B为切点时，∠APB最大．
解答 解：（1）∵ρ2-4ρsinθ+3=0，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4y+3=0，即x2+（y-2）2=1．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴x-1+y-3=0，即x+y-4=0．
（2）曲线C的圆心C（0，2）到直线l的距离d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$＞1．
∴直线l与圆C相离．
过点P作圆C的切线，则当A，B为切点时，∠APB最大．
连结OP，OA，则∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APB，sin∠OPA=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{OP}$．
∴当OP取得最小值$\sqrt{2}$时，sin∠OPA取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即∠OPA的最大值为$\frac{π}{4}$，
∴∠APB的最大值为2∠OPA=$\frac{π}{2}$．
点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互相转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．
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如图所示，在四面体S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，D是BC的中点．求证：
3．数列{an}中，an=3n-1，则a2=（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 9 | D． | 32 |
10．分别从A网和B网上对某一型号家用电器的日销售量（单位：台）进行统计，最近50天的统计结果知下：
（A网）
（B网）
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（1）这两个平台，哪一个平台该产品的销售量更稳定些；
（2）以A网为研究对象，已知每台该电器的销售利润为0.2（千元），用ξ表示该种电器2天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和数学期望．
| 日销售量（台） | 100 | 150 | 200 |
| 频数 | 10 | 25 | 15 |
| 频率 | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
| 日销售量（台） | 100 | 150 | 200 |
| 频数 | 15 | 15 | 20 |
| 频率 | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（1）这两个平台，哪一个平台该产品的销售量更稳定些；
（2）以A网为研究对象，已知每台该电器的销售利润为0.2（千元），用ξ表示该种电器2天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和数学期望．
如图，B、C两点之间不能直接到达，为测量B、C两点间的距离（单位：千米），先确定一条直线AD，使得A、D、B三点共线，且∠ADC为钝角，现测得∠BCD=60°，∠A=45°，CD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∠CDB=θ．
8．已知3$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos2$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-m≤0在x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上有解但不恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | [-$\sqrt{3}$，+∞） | B． | （-∞，$\sqrt{3}$] | C． | [-$\sqrt{3}$，3） | D． | [-$\sqrt{3}$，+$\sqrt{3}$] |