题目内容

已知z，ω∈C， $数学公式$ ，（1+3i）z为纯虚数，且 $数学公式$ ，求ω．

解：设ω=x+yi（x，y∈R），则由 $\text{[math]}$ 可得z=（x+yi）（2+i）． …（2分）
依题意得（x+yi）（2+i）（1+3i）=（-1+7i）（x+yi）=-x-7y+（7x-y）i为纯虚数，
故有-x-7y=0且7x-y≠0．
再由 $\text{[math]}$ 可得x²+y²=200．…（6分）
解得x=-14时y=2，或x=14时y=-2．
则ω=-14+2i或ω=14-2i．…（10分）
分析：设ω=x+yi（x，y∈R），则由 $\text{[math]}$ 可得z=（x+yi）（2+i）．再由（1+3i）z为纯虚数可得-x-7y=0且7x-y≠0．再由 $\text{[math]}$ 可得x²+y²=200．解出x 和y的值，即可得到ω的值．
点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的混合运算，求复数的模，属于基础题．