Question

已知z，ω∈C，ω=

z

2+i

，（1+3i）z为纯虚数，且|ω|=10

2

，求ω．

Answer 1

设ω=x+yi（x，y∈R），则由ω=

z

2+i

可得z=（x+yi）（2+i）．  …（2分）
依题意得（x+yi）（2+i）（1+3i）=（-1+7i）（x+yi）=-x-7y+（7x-y）i为纯虚数，
故有-x-7y=0且7x-y≠0．
再由|ω|=10

2

可得x²+y²=200．…（6分）
解得x=-14时y=2，或x=14时y=-2．
则ω=-14+2i或ω=14-2i．…（10分）