Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0）上的两点，已知向量

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），且

m

•

n

=0，若椭圆的离心率e=

3

2

，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

建立方程求得k．
（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x₁=x₂，y₁=-y₂，根据

m

•

n

=0求得x₁和y₁的关系式，代入椭圆的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0求得2b²-k²=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

?a=2，c=

3

椭圆的方程为

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

3

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

由已知

m

•

n

=0得：

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(1+

k2

4

)x1x2+

3 k

4

(x1+x2)+

3

4

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

=0，解得k=±

2

（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

m

•

n

=0，则x12-

y12

4

=0?y12=4x12
又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以x12+

4x12

4

=1?|x1|=

2

2

，|y1|=

2

S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2=1

?(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0
得到x₁+x₂=

-2kb

k2+4

x1x2=

b2-4

k2+4

x1x2+

y1y2

4

=0?x1x2+

(kx1+b)(kx2+b)

4

=0代入整理得：
2b²-k²=4
S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1
所以三角形的面积为定值

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免有所遗漏．