题目内容

已知函数f（x）满足：f（0）=1，f(x+1)=
f(x)+
3
1-
3
f(x)
，则f（2010）=
 
．
分析：利用函数值的递推关系，求出前几个函数值，得到函数值重复出现，判断出函数值呈现周期性，求出f（2010）．
解答：解：∵f(x+1)=
f(x)+
3
1-
3
f(x)
，f（0）=1
∴f(1)=
f(0)+
3
1-
3
f(0)
=
1+
3
1-
3
=-2-
3

f(2)=
f(1)+
3
1-
3
f(1)
=
-2-
3
+
3
1-
3
(-2-
3
)
=-2+
3

f(3)=
f(2)+
3
1-
3
f(2)
=1
所以f（x）的值是以3为周期的周期函数
所以f（2010）=f（670×3）=f（0）=1
故答案为：1
点评：在求函数解析式未知，自变量较大的函数值时，常通过递推关系求出前几个函数值，判断出函数值的周期，利用周期求出函数值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．
已知函数f（x） 满足f（x+4）=x3+2，则f-1（1）等于（　　）
已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
（3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．
（2012•珠海二模）已知函数f（x）满足：当x≥1时，f（x）=f（x-1）；当x＜1时，f（x）=2x，则f（log27）=（　　）

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