Question

20．如图，在多面体ABCDE中，CB⊥BE，DE∥CB，EB=AB=$\frac{1}{2}$CB=1，AE=$\sqrt{2}$，平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：CB⊥AB．
（2）若F为AC中点，DF∥平面ABE，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥平面BCDE即可证明CB⊥AB．
（2）若F为AC中点，取BC的中点G，由DF∥平面ABE，得到DG∥BE，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的平面角．

解答 证明：（1）∵BE=AB=1，AE=$\sqrt{2}$，
∴满足BE²+AB²=AE²，即三角形ABE是直角三角形，
则AB⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCDE，
∴AB⊥平面BCDE，
∵BC?平面BCDE，
∴AB⊥BC，即CB⊥AB．
解：（2）∵EB=AB=$\frac{1}{2}$CB=1，
∴CB=2，
∵CB⊥BE，
∴建立以B为坐标原点，BC，BA，BE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵F为AC中点，DF∥平面ABE，
∴取BC的中点G，连接GF，DG，
则GF∥AB，GF∥平面ABE，
∵GF∩DF=F，
∴平面DGF∥平面ABE，
则DG∥BE，DE=GB=1，
则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，1，0）．E（0，0，1），F（1，$\frac{1}{2}$，0），
D（1，0，1），
则平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，1），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=2x-y=0且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-x+z=0，
令x=1，则y=2，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即二面角A-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的性质的应用以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．