题目内容
【题目】图1，在
中，
，
，E为
中点.以
为折痕将
折起，使点C到达点D的位置，且
为直二面角，F是线段
上靠近A的三等分点，连结
，
，
，如图2.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取
中点为M，连结
，可得到
平面
，所以
.计算
，
，根据勾股定理得到
，故可证
平面
，从而得到
.
（2）过E作
，以E为坐标原点，以
，
，
的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系
，计算平面
的法向量和直线
的方向向量，代入公式计算即可.
（1）设中点为M，连结.
因为E是
中点，所以
，又因为
，所以
.
因为
为直二面角，即平面
平面，
又因为平面
平面
，且
平面，
所以平面.
因为
平面，所以
.
在
中，
，
，
，
所以
，且
.
因为F是
上靠近A的三等分点，所以
，
.
在
中，根据余弦定理，
，
即，.
在
中，
，
所以
，所以.
又因为
，所以平面.
因为
平面，所以.
（2）如图，过E作，则
平面.
以E为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
.
故
，
，
，
，
那么
.
设平面的一个法向量为
.
则
，即
，
取
，得
，
，此时
.
设直线与平面所成的角为
，
则
，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
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