题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且曲线过点(1，
2
2
)
（1）求椭圆C的方程．（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=
5
9
内，求m的取值范围．
（1）∵
c
a
=
2
2
，∴
b2
a2
=
a2-c2
a2
=1-
1
2
=
1
2
，∴a2=2b2①
曲线过(1，
2
2
)，则
1
a2
+
1
2b2
=1②
由①②解得
a=
2
b=1
，则椭圆方程为
x2
2
+y2=1．
（2）联立方程
x2
2
+y2=1
x-y+m=0
，消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得-
3
＜m＜
3
③
x1+x2=
-4m
3
，y1+y2=x1+x2+2m=
-4m
3
+2m=
2m
3
，
即AB的中点为(-
2m
3
，
m
3
)
又∵AB的中点不在x2+y2=
5
9
内，
∴
4m2
9
+
m2
9
=
5m2
9
≥
5
9

解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：-
3
＜m≤-1或1≤m＜
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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