Question

（2007•河东区一模）设数列{a_n}、{b_n}都是正项数列，且对于任意n∈N^*，都有a_n，b_n²，a_a+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）如果a₁=1，b₁=

2

，S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

2bn2=an+an+1 an+12=bn2bn+12

，由两式消掉a_n，a_n+1可得数列{b_n}的递推式，根据等差数列定义可判断；
（Ⅱ）易求{b_n}的通项公式，进而可得{a_n}的通项公式，利用裂项相消法可求得S_n；

解答：（Ⅰ）证明：∵a_n＞0，b_n＞0，且

2bn2=an+an+1 an+12=bn2bn+12

，
由第二个式子可知：a_n+1=b_nb_n+1，所以当n≥2时，有a_n=b_n-1b_n，
代入第一个式子可得：2bn2=bn-1bn+bnbn+1，
所以2b_n=b_n-1+b_n+1（n≥2），
所以数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）解：由a1=1，b1=

2

，可得a₂=3，b2=

3 2

2

，
∴bn=b1+(n-1)d=

2

2

(n+1)，an=

n(n+1)

2

（n∈N*），
所以Sn=

2

1•2

+

2

2•3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法对数列求和，考查学生的运算求解能力．