Question

（A题）已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）求证：；
（2）若λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，利用基本不等式1=x+y+z≥3＞0可求得0＜≤，同理即可证得++≥27；
（2）利用x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²及（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，即可证得≥，而λ≤，从而可得答案．
解答：证明（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴1=x+y+z≥3＞0，
∴0＜≤，
∴++≥=≥=27，
故++≥27当且仅当x=y=z=时等号成立…（6分）
（2）∵x，y，z∈R⁺，x+y+z=1且λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，
∴λ≤恒成立，
∵x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²，
又∵（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，
∴x²+y²+z²≥，
∴x³+y³+z³≥（x²+y²+z²）⇒≥，当且仅当x=y=z=时等号成立．
∴λ≤，故实数λ的最大值为…（14分）
点评：本题考查不等式的证明，考查等价转化思想与函数思想，考查逻运算与辑推理证明的能力，属于难题．