Question

（2007•广州模拟）（此题是选做题，只能选择其中一题．）
（1）已知圆的直径AB=10cm，C是圆周上一点（不同于A、B点），CD⊥AB于D，CD=3cm，则BD=

1cm或9cm

．
（2）已知θ为参数，则点（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距离的最大值是

13

+1

．
（3）已知x、y∈R⁺，且4x+3y=1，则

1

x

+

1

y

的最小值为

7+4

3

．

Answer 1

分析：（1）由圆的直径AB=10cm，C是圆周上一点（不同于A、B点），CD⊥AB于D，CD=3cm，知BD（10-BD）=9，由此能求出BD；
（2）由方程

x=cosθ y=sinθ

的普通方程是圆x²+y²=1，圆心O（0，0），半径r=1，能求出点（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距离的最大值．
（3）由x、y∈R⁺，且4x+3y=1，知

1

x

+

1

y

=（4x+3y）（

1

x

+

1

y

）=4+

3y

x

+

4x

y

+3，再上均值定理能够求出

1

x

+

1

y

的最小值．

解答：解：（1）∵圆的直径AB=10cm，C是圆周上一点（不同于A、B点），CD⊥AB于D，CD=3cm，
∴BD•AD=3²，
即BD（10-BD）=9，
解得BD=1（cm）或BD=9（cm）．
故答案为：1cm或9cm．
（2）∵方程

x=cosθ y=sinθ

的普通方程是圆x²+y²=1，
圆心O（0，0），半径r=1，
∴点（3，2）到方程

x=cosθ y=sinθ

的距离的最大值d max= 

9+4

+1=

13

+1．
故答案为：

13

+1．
（3）∵x、y∈R⁺，且4x+3y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（4x+3y）（

1

x

+

1

y

）
=4+

3y

x

+

4x

y

+3
≥7+2

3y x • 4x y

=7+4

3

．
当且仅当x、y∈R⁺，

3y

x

=

4x

y

，且4x+3y=1，即x=

2- 3

2

，y=

2 3 -3

3

时，

1

x

+

1

y

取最小值7+4

3

．
故答案为：7+4

3

．

点评：第（1）题考查圆的相交弦定理，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
第（2）题考查圆的参数方程和两点间距离公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
第（3）题考查均值定理，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理成立的基本条件的灵活运用．