题目内容

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则
lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=______．（用数字作答）
由题意可得，线段AB的方程为y=-2x+4（0≤x≤2）
线段BC的方程为：y=x-2（2≤x≤6）
∴
lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=f′（1）=-2
故答案为：-2
练习册系列答案
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设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函数f（x）的两个极值点为x1，x2满足-1＜x1＜1＜x2＜2．设λ=a2+b2-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围．
若f′（x0）=2，则
lim
k→0
f(x0-k)-f(x0)
2k
的值为（　　）
A．-2B．2C．-1D．1
已知函数f（x）=
lnx+k
ex
（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e-2．
已知曲线y=
x2
4
-3lnx的一条切线的斜率为
5
4
，则切点的横坐标为（　　）
A．1B．-
3
2
C．4D．4或-
3
2
已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是(
2
3
，2)；
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0
其中假命题的个数为（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______．
设曲线f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+1（其中a＞0）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2）．证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）
设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′(x)=
1
x
，g（x）=f（x）+f′（x）．则g（x）的最小值是______．

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