Question

设函数 

   （Ⅰ）求函数的极值点；

   （Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；

   （Ⅲ）证明：

Answer 1

（Ⅰ）当p>0 时，有唯一的极大值点

（Ⅱ）p的取值范围为[1，+∞

（Ⅲ）见解析

解析:

（1），

当 上无极值点

当p>0时，令的变化情况如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	极大值	↘

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 

（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，

要使恒成立，只需，      ∴

∴p的取值范围为[1，+∞ 

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，

∴，

∴

∴

 

 

∴结论成立