Question

设向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx）．
（1）若x∈[0，

π

2

]且|

a

|=|

b

|，求x的值；
（2）设函数

a

•

b

，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的计算公式和特殊角的三角函数值即可得出；
（2）利用数量积运算和两角和差的正弦公式及其三角函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由|

a

|2=(

3

sinx)2+(sinx)2=4sin2x．
|

b

|2=(cosx)2+(sinx)2=1．及|

a

|=|

b

|，
得4sin²x=1．
又x∈[0，

π

2

]，∴sinx=

1

2

．
∴x=

π

6

．
（2）f(x)=

a

•

b

=

3

sinx•cosx+sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∵sin(2x-

π

6

)∈[-1，1]，
∴当sin(2x-

π

6

)=1时，f(x)有最大值

3

2

．

点评：本题考查了向量模的计算公式和特殊角的三角函数值、数量积运算、两角和差的正弦公式及其三角函数的单调性，属于中档题．