Question

（2006•海淀区一模）已知：函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，f(

π

6

)=0．
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象按向量m=(

π

6

，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ι）直接利用条件 f(

π

6

)=2×

3

4

+a×

1

2

×

3

2

=0，解方程求出a的值．
（ΙΙ）根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2cos（2x+

π

3

）+1，令 2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的增区间．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点P′（x′，y′）按向量

m

=（

π

6

，-1）平移后所得，得到这两个点的坐标间的关系，代入y′=2cos（2x′+

π

3

）+1中可得 g（x） 解析式．

解答：解：（Ι）由题意，f(

π

6

)=2×

3

4

+a×

1

2

×

3

2

=0，∴a=-2

3

．
（ΙΙ）函数f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）+1，
故最小正周期T=

2π

2

．
令 2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈z，解得 kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]，k∈z．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点
P′（x′，y′）按向量

m

=（

π

6

，-1）平移后所得，则

x=x′+ π 6 y=y′-1

，∴

x′=x- π 6 y′=y+1

．
代入 y′=2cos（2x′+

π

3

）+1中可得：y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，以及函数y=Asin（ωx+∅）的性质应用，属于中档题．