题目内容
(2006•海淀区一模)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD,点E是BC边的中点,
(Ⅰ)求证:AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
,
①求点P到平面ABCD的距离;
②求二面角P-AB-C的大小.
(Ⅰ)求证:AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
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①求点P到平面ABCD的距离;
②求二面角P-AB-C的大小.
分析:(Ⅰ)连接BD,点E是BC边的中点,得出DE⊥BC,DE⊥AD再由DP⊥AD,得出AD⊥平面PDE.
(Ⅱ)DE⊥AD,PD⊥AD,∠PDE为二面角P-AD-C的平面角.∠PDE=60°.过P在平面PDE内做PK⊥DE于K,易证AD⊥PK.PK⊥面ABCD.PK为所求.
②先得出K为△BCD重心.连接BK,由△BCD为正三角形,得出BK为BP在面ABCD内的射影.从而PB⊥AB,所以∠PBK为二面角P-AB-C的平面角.RT△PKB中求解.
(Ⅱ)DE⊥AD,PD⊥AD,∠PDE为二面角P-AD-C的平面角.∠PDE=60°.过P在平面PDE内做PK⊥DE于K,易证AD⊥PK.PK⊥面ABCD.PK为所求.
②先得出K为△BCD重心.连接BK,由△BCD为正三角形,得出BK为BP在面ABCD内的射影.从而PB⊥AB,所以∠PBK为二面角P-AB-C的平面角.RT△PKB中求解.
解答:解:(Ⅰ)连接BD,底面ABCD是菱形,∠BDC=60°,∴△BCD是正三角形.
∵点E是BC边的中点,∴DE⊥BC,∵AD∥BC,∴DE⊥AD.∵DP⊥AD,DP∩AD=D,∴AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)①∵DE⊥AD,PD⊥AD,∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角.,∴∠PDE=60°.
过P在平面PDE内做PK⊥DE于K,易证AD⊥PK.∴PK⊥面ABCD.∵PD=
,∴DK=
,PK=4
即点P到平面ABCD的距离是4.
②AB=4,∴DE=2
,∴DK=
DE,∴K为△BCD重心.
连接BK,∵△BCD为正三角形,所以BK为BP在面ABCD内的射影.∴PB⊥AB,∠PBK为二面角P-AB-C的平面角.
在RT△PKB中,tan∠PKB=
=
=
,∠PKB=
,二面角P-AB-C的大小为
∵点E是BC边的中点,∴DE⊥BC,∵AD∥BC,∴DE⊥AD.∵DP⊥AD,DP∩AD=D,∴AD⊥平面PDE;
(Ⅱ)①∵DE⊥AD,PD⊥AD,∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角.,∴∠PDE=60°.
过P在平面PDE内做PK⊥DE于K,易证AD⊥PK.∴PK⊥面ABCD.∵PD=
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即点P到平面ABCD的距离是4.
②AB=4,∴DE=2
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连接BK,∵△BCD为正三角形,所以BK为BP在面ABCD内的射影.∴PB⊥AB,∠PBK为二面角P-AB-C的平面角.
在RT△PKB中,tan∠PKB=
PK |
KB |
PK |
DK |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
点评:本题考查空间直线、平面位置关系的判断,空间角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.
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