Question

汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

	轿车A	轿车B	轿车C
舒适型	100	150	z
标准型	300	450	600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得

50

n

=

10

100+300

，
∴n=2000，
∴z=2000-（100+300）-150-450-600=400．

（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A₁，A₂表示2辆舒适型轿车，
用B₁，B₂，B₃表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
（A₁，A₂），（A₁B₁），（A₁B₂），
（A₁，B₃，），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，B₃），
（B₁B₂），（B₁，B₃，），（B₂，B₃），共10个，
事件E包含的基本事件有：
（A₁A₂），（A₁，B₁，），（A₁，B₂），（A₁，B₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），共7个，
故　P（E）=

7

10

，
即所求概率为

7

10

．
（Ⅲ）样本平均数

.

x

=

1

8

（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．
设D表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，
∴P（D）=

6

8

=

3

4

，即所求概率为

3

4

．

点评：本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．