题目内容
已知
=(2cos2x，
)，
=(1，sin2x)，函数f（x）=
•
-1，g(x)=
2-1．
（Ⅰ）求函数g（x）的零点的集合；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
（Ⅰ）求函数g（x）的零点的集合；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间．
分析：（Ⅰ）由向量
的坐标求出函数g（x）的解析式，由g（x）=0求得g（x）的零点的集合；
（Ⅱ）由平面向量的数量积运算求出f（x）的解析式，化简整理后求周期，然后利用复合函数的单调性求单调区间．
| b |
（Ⅱ）由平面向量的数量积运算求出f（x）的解析式，化简整理后求周期，然后利用复合函数的单调性求单调区间．
解答：解：（Ⅰ）由
=(1，sin2x)，
得g（x）=
2-1=1+sin22x-1=sin22x，
由g（x）=0，得sin2x=0，∴2x=kπ（k∈Z），即x=
，k∈Z．
故函数g（x）的零点的集合为{x|x=
，k∈Z}；
（Ⅱ）f（x）=
•
-1=（2cos2x，
）•（1，sin2x）-1
=2cos2x+
sin2x-1=cos2x+
sin2x=2sin（2x+
）．
∴函数f（x）的最小周期T=
=π，
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），
得-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z．
故函数f（x）的单调增区间为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z）．
| b |
得g（x）=
| b |
由g（x）=0，得sin2x=0，∴2x=kπ（k∈Z），即x=
| kπ |
| 2 |
故函数g（x）的零点的集合为{x|x=
| kπ |
| 2 |
（Ⅱ）f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
=2cos2x+
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的最小周期T=
| 2π |
| 2 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数f（x）的单调增区间为[-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了两角和与差的正弦函数，考查了函数的零点，训练了函数的周期与复合函数单调区间的求法，是中档题．
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