Question

19．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一点M关于渐进线的对称点恰为右焦点F₂，则该双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设M（m，n），右焦点F₂（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及中点坐标公式，解方程可得m，n，代入双曲线的方程，化简整理，结合双曲线的基本量和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设M（m，n），右焦点F₂（c，0），
双曲线的一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
由题意可得-$\frac{b}{a}$•$\frac{n-0}{m-c}$=-1①
$\frac{1}{2}$n=-$\frac{b}{a}$•$\frac{m+c}{2}$②
由①②解得m=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
将M（$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$）代入双曲线的方程，可得：
$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}{b}^{2}}$=1，由b²=c²-a²，
化为（2a²-c²）²-4a⁴=a²c²，
即为c²=5a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和点关于直线对称的特点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．