Question

（13分）已知圆C的方程为x²+（y﹣4）²=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．

Answer 1

（Ⅰ）（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（Ⅱ）n=（m∈（﹣，0）∪（0，））

（Ⅰ）将y=kx代入x²+（y﹣4）²=4中，得：（1+k²）x²﹣8kx+12=0（*），
根据题意得：△=（﹣8k）²﹣4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（*）得到x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入得：=，即m²=，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m²=，化简得5n²﹣3m²=36，
由m²=及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n==，
则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．