Question

【题目】如图，在正三棱柱中，的面积为，.点为线段的中点.

（1）在线段上找一点，使得平面平面，并证明；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)先取的中点，连接，根据面面平行的判定定理即可得出结论成立；

(2)先取中点，的中点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求出向量夹角的余弦值即可得出结果.

（1）取的中点，连接.

，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

同理可得，四边形为平行四边形，平面；

，平面，平面.

平面平面.

（2）取中点，的中点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，.

由题意得，.

则，.

设平面的一个法向量为，

则，即，即.

令，则，，即.

又平面的一个法向量为.

，

由图可知，二面角为锐角，

故二面角的余弦值为.