题目内容

定义：数列{an}对一切正整数n均满足
an+an+22
＞an+1，称数列{an}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：
（1）等差数列{an}一定是凸数列
（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}一定是凸数列
（3）若数列{an}为凸数列，则数列{an+1-an}是单调递增数列
（4）凸数列{an}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得an0+1＞an0
其中正确说法的个数是
 
．
分析：（1）由等差数列{an}的性质可得：
an+an+2
2
=an+1，不满足
an+an+2
2
＞an+1，即可判断出．
（2）由于首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}，可得an＞0．
可得
an+an+2
2
=
an+anq2
2
=an•
1+q2
2
＞anq=an+1．即可判断出．
（3）由于数列{an}为凸数列，可知：数列{an}对一切正整数n均满足
an+an+2
2
＞an+1，
可得：an+2-an+1＞an+1-an，即可判断出数列{an+1-an}的单调性．
（4）①凸数列{an}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有an0+1＞an0；
②对于凸数列{an}存在n0∈N*，使得an0+1＞an0．则an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．可得数列{an}从n0项开始是单调递增数列．如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．
解答：解：（1）由等差数列{an}的性质可得：
an+an+2
2
=an+1，不满足
an+an+2
2
＞an+1，因此不是“凸数列”．
（2）∵首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{an}，
∴an=a1qn-1＞0．
∴
an+an+2
2
=
an+anq2
2
=an•
1+q2
2
＞anq=an+1．因此是“凸数列”．故正确．
（3）∵数列{an}为凸数列，∴数列{an}对一切正整数n均满足
an+an+2
2
＞an+1，
∴an+2-an+1＞an+1-an，
∴数列{an+1-an}是单调递增数列．因此正确．
（4）①凸数列{an}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有an0+1＞an0；
②对于凸数列{an}存在n0∈N*，使得an0+1＞an0．
则an0+2-an0+1＞2an0+1-an0-an0+1=an0+1-an0＞0．
如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．
因此（4）不正确．
综上可知：只有（2）（3）正确．
故答案为：2．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、新定义“凸数列”的意义，属于难题．
练习册系列答案
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9、定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an+1|+|an|=d（d为常数），则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”{an}中，a1=2，“绝对公和”d=2，则其前2010项和S2010的最小值为（　　）
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-2006
-2006
．
已知函数f(x)=
x
2x2+1
，定义正数数列an：a1=
1
2
，an+12=2anf（an），n∈N+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
4+(-1)n[
1
a
2
2n+2
-2]
1-(-1)n[
1
a
2
2n+2
-2]
，设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数n，Rn≤λn恒成立，求λ的最小值．
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-2008
-2008
．

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