Question

已知椭圆E：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)长轴长是短轴长的

3

倍，且经过点A(

3

3

，

2

)，直线x=t与椭圆E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交，求实数t的取值范围；
（3）设Q（x，y）是圆C上的动点，当t变化时，求x的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆长轴和短轴之间的关系，结合椭圆过定点A(

3

3

，

2

)，得到关于a，b的二元方程组，求解a，b后即可得到答案；
（2）把直线x=t与椭圆方程联立，求出圆的半径，利用圆心C到y轴的距离小于半径求解t的取值范围；
（3）直接由圆的方程解出x，利用放缩法去掉y，再运用三角函数换元，最后由三角函数的值域求最值．

解答：解：（1）依题意得：a：b=

3

，且椭圆经过点A(

3

3

，

2

)，
∴

1 3b2 + 2 a2 =1 a2=3b2

⇒a²=3，b²=1．
则椭圆E的方程为x2+

y2

3

=1；
（2）由题意知圆心C（t，0）（-1＜t＜1）．
由

x=t x2+ y2 3 =1

⇒y2=3(1-t2)，
∴圆C的半径为r=

3(1-t2)

．
∵圆C与y轴相交，且圆心C到y轴的距离d=|t|，
∴|t|＜

3(1-t2)

?t2＜3(1-t2)?-

3

2

＜t＜

3

2

，
即实数t的取值范围(-

3

2

，

3

2

)；
（3）圆C的方程为（x-t）²+y²=3（1-t²）．
∵点Q（x，y）在圆C上，∴x=t±

3(1-t2)-y2

．
∵t-

3(1-t2)-y2

≤t+

3(1-t2)-y2

，
故只需求x=t+

3(1-t2)-y2

的最大值．
x=t+

3(1-t2)-y2

≤t+

3(1-t2)

（y=0时，等号成立）．
设t=cosθ，θ∈（0，π），则t+

3(1-t2)

=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)，
当θ=

π

3

，即t=

1

2

，且y=0时，x取最大值2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，解答（3）时运用换元法，体现了放缩思想方法，思维难度较大．该题属高考试题中的压轴题．