Question

已知椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．且椭圆的焦距为4

3

，定点A(

13

2

，

3

)为椭圆上的点，点P为椭圆上的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为P₁，动点M满足

P1M

=2

P1P

（1）求M点的轨迹T的方程；
（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S_△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求得椭圆方程为，设P（x₀，y₀），M（x，y），由题意可得：x0=

x

2

，y0=y代入椭圆方程化简可得
M点的轨迹T的方程．
 （2）分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂ ，符合条件的点均在直线l₁、l₂上，分别解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

与

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

，求得x的范围，找出其中的整数，代入直线l₁、l₂的方程求出y的整数值，即得点Q的坐标．

解答：解：（1）由题意可知：椭圆焦点为F1(0，-2

3

)，F2(0，2

3

)．
|AF₁|+|AF₂|=2a，所以a=4，b²=a²-c²=4，所以椭圆方程为：

y2

16

+

x2

4

=1．
设P（x₀，y₀），M（x，y），由题意可得：x0=

x

2

，y0=y代入椭圆方程化简可得
M点的轨迹T的方程为：x²+y²=16．
（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点 A（-4，0），B（4，0）满足S_△OEA=S_△OEB=2，
分别过A、B作直线OE的两条平行线l₁、l₂．
∵同底等高的两个三角形的面积相等，∴符合条件的点均在直线l₁、l₂上．
∵kOE=

1

2

，∴直线l₁、l₂的方程分别为：y=

1

2

(x+4)、y=

1

2

(x-4)．
设点Q（x，y）（x，y∈Z），∵O在轨迹T内，∴x²+y²＜16，
分别解

x2+y2＜16 y= 1 2 (x+4)

与

x2+y2＜16 y= 1 2 (x-4)

，得  -4＜x＜2

2

5

，或 -2

2

5

＜x＜4，
∵x，y∈Z，∴x为偶数，在(-4，2

2

5

)上，x=-2，0，2对应的y=1，2，3
在(-2

2

5

，4)上，x=-2，0，2，对应的y=-3，-2，-1，∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：
（-2，1），（0，2），（2，3），（-2，-3），（0，-2），（2，-1）．

点评：本题考查点轨迹方程的求法，本题考查直线和圆的位置关系，判断符合条件的点均在直线l₁、l₂上，是解题的关键．