题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和零点；
（2）若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间：
；单调递增区间：
；零点为：
（2）
【解析】
（1）求导根据导函数正负得到单调区间；令
，再结合单调性可知唯一零点为；（2）将不等式转化为
图像恒在
上方，利用临界状态，即直线与相切的情况，求得相切时
；从而可构造出
，利用导数求得
，由此可得取值范围.
（1）
令
，解得：
所以函数在
上单调递减，在上单调递增
单调递减区间为，单调递增区间为
令，解得：
所以函数的零点是
（2）画出的大致图像，如图所示
设
，则
的图像恒过点
设函数
的图像在点
处的切线过点
所以
，
的图像在处的切线方程为
将代入切线方程，得
整理得：
设
令
，得或
所以
在
，上单调递增，在
上单调递减
又
，
，
所以
是方程的唯一解
所以过点且与的图像相切的直线方程为
令，则
当
时，
；当
时，
又
，即在上恒成立
即函数的图像恒在其切线
的上方
数形结合可知，
的取值范围
【题目】2018年“双十一”全网销售额达
亿元，相当于全国人均消费
元，同比增长
，监测参与“双十一”狂欢大促销的
家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.某大学学生社团在本校
名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和
个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下：
男生直方图
分组（百元） | 男生人数 | 频率 |
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合计 |
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女生茎叶图
（1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）.
（2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足
元的同学中随机抽取
人发放纪念品，则
人都是女生的概率为多少？
（3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查
人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望.
