Question

（2012•雁江区一模）已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e（其中n∈N^*，e是自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-

1

4

代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，只要求出ax²+ln（x+1）-x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题；
（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；

解答：解：（Ⅰ）当a=-

1

4

时，f(x)=-

1

4

x2+ln(x+1)（x＞-1），
f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，
解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面区域内，
则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），
只需g（x）_max≤0即可．（5分）
由g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（ⅰ）当a=0时，g′(x)=

-x

x+1

，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a＞0时，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

时，函数g（x）在(0，

1

2a

-1)上单调递减，在区间(

1

2a

-1，+∞)上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立
（或另证ln（x+1）≤x在区间（-1，+∞）上恒成立），（11分）
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)，
∵ln{(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}
=ln(1+

2

2×3

)+ln(1+

4

3×5

)+ln(1+

8

5×9

)+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]
=2[(

1

2

-

1

2n+1

)]＜1，
∴(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．（14分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，第二题实质还是函数的恒成立问题，第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式，利用它们进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题；