Question

已知函数，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记，若，求数列c_n的前n 项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，所以数列是以为公差的等差数列．由此能求出a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由，由方程有相等实根，知△=a_n²+4b_n=0，所以=-（2n-1）²，由此能够求出T_n．
解答：解：（1）由得：，所以数列是以为公差的等差数列．
∴，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由，
据题意方程有相等实根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴=-（2n-1）²，
当n∈N⁺时，=，
∴==，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=
==．
点评：本题考查数列和函数的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．