Question

已知函数，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记，若，设T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得：，，所以，由此能求出a_n．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由，知x²-a_nx-b_n=0，据题意知方程有相等实根，所以，由此能够推导出．
解答：解：（1）由得：，∴数列是以为公差的等差数列，
∴，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．
∴a_n=4n-2，n∈N^*．
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由⇒x²-a_nx-b_n=0．
据题意知方程有相等实根，∴△=a_n²+4b_n=0，
∴，
当n∈N^*时，=，∴=，
=．
∴
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意极限的合理运用．