Question

椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,

|PF2|=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线L过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

 

Answer 1

(1);(2)8x-9y+25=0

【解析】

试题分析：(1)由椭圆的定义可知a=3，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得c=,从而b2=4, 所以椭圆C的方程为＝1;(2) 法一：(韦达定理)设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程并化简得

（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.由A，B关于点M对称可得，结合韦达定理可得，所以直线l的方程为8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)法二：(点差求斜率)因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,由题意x1x2且A、B的坐标满足椭圆方程，两式相减得直线l的斜率，因此直线l的方程为8x－9y+25=0.(经检验，符合题意.)

试题解析：(1)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，

故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,

所以椭圆C的方程为＝1.

法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）,从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称. 所以 解得，

所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)

法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

① ②

由①－②得 ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

考点：1.椭圆的定义与方程;2.直线与椭圆的位置关系