Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2． （Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，
（ i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；
（ ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O， 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．
设G为DE的中点，连结OG，FG，
则OG∥BE，且 ．
由已知AF∥BE，且 ，所以AF∥OG，OG=AF．
所以四边形AOGF为平行四边形．
所以AO∥FG，即AC∥FG．
因为AC平面DEF，FG平面DEF，
所以AC∥平面DEF．
解：（Ⅱ）（i）由已知，AF∥BE，AB⊥BE，所以AF⊥AB．
因为二面角D﹣AB﹣E为直二面角，所以平面ABCD⊥平面ABEF．
所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AD，AF⊥AB．
四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD．所以AD，AB，AF两两垂直．
以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为AB=BE=2AF=2，
所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，0，1），
所以 ．
设平面CDE的一个法向量为n=（x，y，z），
由 得 即
取x=1，得n=（1，0，1）．
设直线AC与平面CDE所成角为θ，
则 ，
因为0≤θ≤90°，所以θ=30°．
即直线AC与平面CDE所成角的大小为30°．
（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．
设 ，则 ．
设P（x，y，z），则 ，
因为 ，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．
所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．
因为B（0，2，0），所以 ．
又 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且 ．
（另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．
设 ，则 ．
设P（x，y，z），则 ，
因为 ，所以（x﹣2，y，z）=λ（﹣2，2，2）．
所以x﹣2=﹣2λ，y=2λ，z=2λ，所以P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ）．
因为B（0，2，0），所以 ．
设平面DEF的一个法向量为 =（x0 ， y0 ， z0），
则 ，由 ，得
取x0=1，得 =（1，﹣1，2）．
由 ，即（2﹣2λ，2λ﹣2，2λ）=μ（1，﹣1，2），
可得 解得 ．
因为 ，所以DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且 ．…（14分）


【解析】（Ⅰ）连结BD，设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF． （Ⅱ）（i）以A为原点，AD，AB，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小．（ii）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设 ，则 ．设P（x，y，z），求出P点坐标为（2﹣2λ，2λ，2λ），从而 ．由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且 ． （另解）假设棱DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF．设 ，则 ．设P（x，y，z），求出平面DEF的一个法向量，由此能求出DE上存在点P，使得BP⊥平面DEF，且 ．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．