Question

【题目】如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD= ．
（I）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如图，过点E 作 EH⊥BC于H，连接HD，
∴EH= ．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，
平面ABD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD，
又∵FD⊥平面ABCD，FD= ，
∴FD∥EH．FD=EH
∴四边形EHDF 为平行四边形．
∴EF∥HD
∵EF平面ABCD，HD平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD
（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，
又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，
∴AH⊥BC，
分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．
则 B（1，0，0），F（﹣2， ， ），E（0，0， ），A（0， ，0）
=（﹣3， ， ）， =（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ），
设平面EBF 的法向量为 =（x，y，z）．
由 得
令z=1，得 =（ ，2，1）．
设平面ABF的法向量为 =（x，y，z）．
由 得
令y=1，得 =（ ，1，2）
cos＜ ， ＞= = = = ，
∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，
∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣ ．

【解析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．