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求证：1＋2＋…＋2n＝n(2n＋1)(n∈N*)

答案：数学归纳法
练习册系列答案
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已知数列{an}满足
n
i=1
i•ai=i．
（I）求an的通项公式；
（II）若bn=
2n
an
，求bn的前n项和Sn；
（III）若cn=
an
n
．求证：1-
1
2n
＜
n
i=1
ci＜2(n＞4)．
在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴及射线y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．
（2013•资阳二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（
6
2
，
3
2
）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
为定值．
（强化班）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过（1，1）与(
6
2
，
3
2
)两点，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
为定值；
（3）是否存在定圆，使得直线l绕原点转动时，AM恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
已知向量
OA
=(cos2α，1+sin2α)，
OB
=(1，2)，
OC
=(2，0)．
（1）若α∈(0，
π
2
)，且sinα=
10
10
，求证：O，A，B三点共线；
（2）若
π
4
≤α≤
π
2
，求向量
OA
与
OC
的夹角θ范围．

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