Question

已知向量

OA

=(cos2α，1+sin2α)，

OB

=(1，2)，

OC

=(2，0)．
（1）若α∈(0，

π

2

)，且sinα=

10

10

，求证：O，A，B三点共线；
（2）若

π

4

≤α≤

π

2

，求向量

OA

与

OC

的夹角θ范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的平方关系及二倍角公式求出向量

OA

=(cos2α，1+sin2α)的坐标由

OA

=(

4

5

，

8

5

)=

4

5

OB

，利用向量共线的充要条件得到O，A，B三点共线；
（2）利用向量的数量积公式求出向量

OA

与

OC

的夹角θ的余弦用α的三角函数表示，根据

π

4

≤α≤

π

2

，求出夹角θ范围．

解答：解：（1）∵sinα=

10

10

，α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

3 10

10

∴sin2α=2sinαcosα=

3

5

，cos2α=cos2α-sin2α=

4

5

．…（3分）
∴

OA

=(

4

5

，

8

5

)=

4

5

OB

，
∴

OA

∥

OB

．
∴O，A，B三点共线，…（4分）
（2）∵cosθ=

(cos2α，1+sin2α)•(2，0)

2 cos22α+(1+sin2α)2

=

cos2α

2+2sin2α

=

cos2α

2 |sinα+cosα|

=

cos2α-sin2α

2 (sinα+cosα)

=

2

2

(cosα-sinα)=cos(α+

π

4

)…（6分）
∵

π

4

≤α≤

π

2

，
∴

π

2

≤α+

π

4

≤

3π

4

，
而θ∈[0，π]，
∴θ=α+

π

4

∴θ的范围为[

π

2

，

3π

4

]．…（8分）

点评：解决向量的夹角问题，应该利用向量的数量积公式将向量夹角的余弦表示出来再解决；解决三点共线问题，一般转化为以三个点为起点、终点的向量共线问题来解决．