题目内容

判断函数y=
x2-1
在定义域上的单调性．
分析：确定函数的定义域→判断函数y=
u
与u=x-1的单调性→复合函数的单调性．
解答：解：∵y=
x2-1
，
∴该函数的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞）
又∵y=
x2-1
可看作是由y=
u
与u=x2-1两个函复合而成的．
且y=
u
在u∈[0，+∞）上为增函数，
而u=x2-1，在x∈（-∞，-1]上为减函数，所以此时函数在x∈（-∞，-1]是减函数．
且u=x2-1，在[1，+∞）上为增函数，此时函数在x∈[1，+∞）是增函数．
点评：本题主要考查复合函数单调性的研究方法，要转化为基本函数解决．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=log
1
3
x，
（1）当x∈[
1
3
，3]时，求f（x）的反函数g（x）；
（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
（3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
（Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=
x2-1
+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．
（理科）函数y=x+
a
x
(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
c
x2
（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

判断函数y=(x2+1)在（－∞,0）上的增减性.
判断函数y=(x2+1)在（－∞,0）上的增减性.

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