Question

如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点.

求证：（1）平面；
（2）.

Answer 1

（1）根据题意，取AB中点N，连接FN、NC；又F为BE的中点 ∴FN为的中位线,那么FN∥AE，进而得到平行性，AE∥CD，得到结论。
（2）对于已知中，由于AE="AB"  F是BE的中点 在中N是AB的中点  ∴AF⊥BE  CN⊥AB，那么根据线面垂直的性质定理来的得到结论。

试题分析：证明：（1）取AB中点N，连接FN、NC；又F为BE的中点 ∴FN为的中位线, ∴FN∥AE  FN=AE   又AE、CD都垂直与面ABC，2CD=AE   ∴AE∥CD   ∴ CD∥FN且CD=FN
∴四边形CDFN为平行四边形  ∴DF∥CN   又CN面ABC  ∴ DF∥面ABC
（2）∵AE="AB"  F是BE的中点 在中N是AB的中点  ∴AF⊥BE  CN⊥AB
∵AE⊥面ABC  AE面ABE   ∴面ABE⊥面ABC  又CN⊥AB   ∴CN⊥面ABE
∴ DF⊥面ABE   ∴ DB在平面ABE的射影为BF   ∴ AF⊥BD
点评：主要是考查了熟练的运用中位线来证明平行和线面垂直的性质定理的运用，属于基础题。