Question

3．四面体ABCD中，∠CBD=90°，AB⊥面BCD，点E、F分别为BC、CD的中点，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面将四面体ABCD分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{3}{16}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{27}{64}$

Answer 1

分析 由题意，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面垂直于平面BCD，截面三角形与△ABD相似，面积比为$\frac{1}{4}$，
又因为较小部分的截面上的高高与四面体ABCD的对应的高之比为$\frac{1}{2}$，即可求出较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比．

解答 解：由题意，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面垂直于平面BCD，截面三角形与△ABD相似，面积比为$\frac{1}{4}$，
又因为较小部分的截面上的高高与四面体ABCD的对应的高之比为$\frac{1}{2}$，
所以较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比为$\frac{1}{8}$，
故选：A．

点评 本题考查较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比，考查学生分析解决问题的能力，确定，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面垂直于平面BCD，截面三角形与△ABD相似是关键．