Question

11．如图所示，已知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体．
（1）求证：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
（2）求四棱锥D₁-AB₁C₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）在平面AB₁D₁找两条相交直线AB₁，AD₁分别平行于平面BDC₁；
（2）连接D₁C，设D₁C∩C₁D=O，证明D₁O为四棱锥D₁-AB₁C₁D的高，求出底面积，即可求四棱锥D₁-AB₁C₁D的体积．

解答 （1）证明：由已知，在四边形DBB₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，
故四边形DBB₁D₁为平行四边形，即D₁B₁∥DB，-----2’
∵D₁B₁?平面DBC1，∴D₁B₁∥平面DBC₁；-----3’
同理在四边形ADC₁B₁中，AB₁∥DC₁，-----4’
同理AB₁∥平面DBC₁，-------5’
又∵AB₁∩D₁B₁=B₁，-----6’
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．----7’
（2）解：连接D₁C，设D₁C∩C₁D=O，
则在正方形D₁C_ICD中，D₁C⊥DC₁，----8’
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁⊥平面C₁CDD₁，
所以D₁C⊥B₁C₁，----9’
∵DC₁∩B₁C₁=C₁，∴D₁C⊥平面AB₁C₁D，--10’
即D₁O为四棱锥D₁-AB₁C₁D的高；
由已知，在正方形DCC₁D₁中，边长为1，
∴D₁C=DC₁=$\sqrt{2}$，∴四棱锥的高D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，----11’
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形AB₁C₁D为矩形，且C₁D=$\sqrt{2}$，B₁C₁=1，
故${S}_{A{B}_{1}{C}_{1}D}$=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$----12’
∴${V}_{D-A{B}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$----14’

点评 本题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D₁-AB₁C₁D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．