Question

△ABC中，A，C为锐角，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且sinA=

5

5

，cos2C=

4

5

．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若a-c=

2

-1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由cos2C=

4

5

及二倍角余弦公式求得sinC、cosC的值，再由sinA的值求得cosA的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（A+C）的值．
（2）应用正弦定理，由条件求得2R的值，再利用正弦定理的变形a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC求出结果．

解答：解：（1）△ABC中，由 cos2C=

4

5

及二倍角余弦公式、A，B是锐角求得sinC=

1

10

，cosC=

3

10

．（3分）
再由sinA=

1

5

，得cosA=

2

5

，（4分）
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2

5

×

3

10

-

1

5

×

1

10

=

2

2

．（6分）
（2）应用正弦定理，由条件得2RsinA-2RsinC=

2

-1，得2R=

10

，（ 9分）
故 sinB=sin(A+C)=

2

2

，
∴a=2RsinA=

2

；b=2RsinB=

5

；c=2RsinC=1．（12分）

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．