Question

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=

1

2

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由通项公式分别把b₁、b₂、b₃表示出来，再由等比中项列出方程，求出d的值，再由数列{a_n}为单调递增数列进行取舍，再求出公比q，分别代入对应的通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（I）和条件求出c_n并裂项，代入数列{c_n}的前n项和S_n进行化简．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
首项a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}为等比数列，∴

b

2 2

=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即数列{a_n}为单调递增数列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
则b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由题意得，(an+3)cnlog2bn=

1

2

，再由（1）结果代入，
变形得cn=

1

2(an+3)log2bn

=

1

2n(2n+2)

=

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)，
∴S_n=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了等差（等比）数列的通项公式，以及前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和等，数列求和问题应先求通项公式，根据其特点再选取对应的求和方法．