Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥平面ABCD，E是线段AB的中点．
（I）求证：DE⊥平面PAC；
（II）求二面角B-PA-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）取CD中点F，连接EF，欲证DE⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证DE与平面PAC内两相交直线垂直，而DE⊥AC，PC⊥DE，满足定理条件；
（II）以点C为坐标原点，分别以CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面PAC的法向量和平面PAB的一个法向量为，计算两个法向量的夹角，即可求出二面角B-PA-C的大小．
解答：解：（I）取CD中点F，连接EF，
则
∵AD=DF=1，CD=EF=2，∠CDA=∠EFD=90°
∴△CDA≌△EFD∴∠DAC=∠FDE
∵∠EDA+∠FDE=90°∴∠EDA+∠DAC=90°∴DE⊥AC（4分）
∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥DE∴DE⊥平面PAC（6分）
（II）以点C为坐标原点，分别以CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则C（0，0，0），D（2，0，0），B（0，3，0），P（0，0，2），A（2，1，0），E（1，2，0）
∵DE⊥平面PAC∴平面PAC的一个法向量为（8分）
设平面PAB的一个法向量为，
由，
得
不妨令，
即（10分）
∴
∴二面角B-PA-C的大小为arccos（12分）
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．