题目内容

函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜m有解，求实数m的范围．

解：（Ⅰ）函数 $\text{[math]}$ =|x-1|+2|x-2|= $\text{[math]}$
当x≤1时，-3x+5≥2；当1＜x＜2时，-x+3∈（1，2）；当x≥2时，3x-5≥1；
∴f（x）的值域是[1，+∞）
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）_min＜m
由（Ⅰ）知f（x）_min=1，∴m＞1
∴实数m的范围为（1，+∞）．
分析：（Ⅰ）函数 $\text{[math]}$ =|x-1|+2|x-2|= $\text{[math]}$ ，再分段确定函数的取值范围．进而可得f（x）的值域；
（Ⅱ）要使关于x的不等式f（x）＜m有解，则f（x）_min＜m，由（Ⅰ）知f（x）_min=1，故可求实数m的范围．
点评：本题是选考题，考查不等式内容，将函数转化为分段函数，再确定原来函数的值域是关键，对于关于x的不等式f（x）＜m有解，转化为f（x）_min＜m求解．

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