Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求实数a的范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，得函数y=f（x）的单调区间是（-∞，-a]，[-a，+∞），
由于y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数故-a≤-5或-a≥5，即可得到实数a的取值范围；
（2）分类讨论，得到函数在[-5，5]上的增减性，继而得到函数在[-5，5]上的最小值．

解答：解：（1）因为f（x）是开口向上的二次函数，且对称轴为x=-a，
为了使f（x）在[-5，5]上是单调函数，故-a≤-5或-a≥5，即a≥5或a≤-5．
（2）①当-a≤-5，即a≥5时，f（x）在[-5，5]上是增函数，
所以f_min（x）=f（-5）=27-10a
②当-5＜-a≤5，即-5≤a＜5时，f（x）在[-5，-a]上是减函数，在[-a，5]上是增函数，
所以 fmin(x)=f(-a)=2-a2
③当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上是减函数，
所以f_min（x）=f（5）=27+10a
综上可得fmin(x)=

27-10a，(a≥5) 2-a2，(-5≤a＜5) 27+10a，(a＜-5)

点评：本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题．