Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a=3，b=-9，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b所满足的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将a=3，b=-9函数f（x）的解析式后求导，当导函数大于0时可求原函数的增区间，当导函数小于0时可求原函数的减区间．
（2）对函数f（x）进行求导，然后根据f'（x）=0有解可得答案．
解答：解：（Ⅰ）若a=3，b=-9，
则f'（x）=3x²-2ax+b=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
令f^/（x）＞0，即3（x+1）（x-3）＞0．则x＜-1或x＞3．
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．
令f^/（x）＜0，即3（x+1）（x-3）＜0．则-1＜x＜3．
∴f（x）的单调减区间是（-1，3）．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+b，设切点为P（x，y），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x）=3x²-2ax+b．
由题意，知f'（x）=3x²-2ax+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0即a²≥3b．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．