Question

13．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{x}）^{8}，x＜0}\\{-\sqrt{x}，x≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -70
• D． 70

Answer 1

分析 根据分段函数求出f[f（x）]的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{x}）^{8}，x＜0}\\{-\sqrt{x}，x≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴当x＞0时，f[f（x）]=f（-$\sqrt{x}$）=${（-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{8}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{8}$，
其展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{8}^{r}$•x^4-r，
令4-r=0，解得r=4；
∴展开式的常数项为：
T₅=（-1）⁴•${C}_{8}^{4}$=70．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数与二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．