题目内容

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
⑴试规定的值，并解释其实际意义；
⑵试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质；
⑶设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

（1）没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样
（2），，在上单调递减，且；
（3）当时，清洗两次后残留的农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当时，一次清洗残留的农药量较少

解析试题分析：（1）规定：“f（0）=1”，表示没有用水洗时，盘子上洗洁净的量将保持原样．（2）根据实际意义确定函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）先设仅清洗一次，计算出残留在洗洁净量，清洗两次后，残留的洗洁净量，再比较它们的大小关系即得．⑴表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样   
⑵根据题意，用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．则可知函数应该满足的条件和具备的性质有第一问的结论，同时根据题意，用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，则，并且用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上故可知在上单调递减，且；
（3）由于设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次．如果清洗一次，那么可知残留的农药量为,如果把水平均分成两份后清洗一次,再清洗一次可知,当=解得a=,清洗两次后残留农药相等，当<,a>,清洗两次后残留的农药量较少;当>,a<,清洗两次后残留的农药量较多。因此可知
当时，清洗两次后残留的农药量较少；
当时，两种清洗方法具有相同的效果；
当时，一次清洗残留的农药量较少．
考点：函数模型的选择与应用
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力

练习册系列答案
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已知函数
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（Ⅲ） 在（Ⅰ）的条件下，设,
证明：.参考数据：．

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