Question

【题目】已知函数．

（1）当时，试求的单调区间；

（2）若在内有极值，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；（2）a∈（e，+∞）

【解析】

（1）首先求得定义域为，求导后，通过证明恒成立可知导函数符号由的符号决定，从而可求得函数的单调区间；（2）将在内有极值转化为在内有零点，即有解，令，，利用导数可求得，从而可验证出时在内有零点，从而得到结果.

（1）由题意知，定义域为：

当时，

则：

令，则

当时，；当时，

在上单调递减；在上单调递增

即：对任意的，恒成立

当时，；当时，

的单调递增区间为：；单调递减区间为：

（2）若在内有极值，则在内有零点

由，得：，则

设，，则恒成立

在上单调递减

当时，在内有解

设，则

当时， 在上单调递减

又， 在上有唯一解

当时，；当时，

当时，在内有唯一极值

当时，在上单调递增，不存在极值

综上所述：