题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求cosC，cosB的值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求边AC的长．

解：（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A=2cos²A-1= $\text{[math]}$ ，…1分
故 sinC= $\text{[math]}$ ．…2分
由 cosA= $\text{[math]}$ 得 sinA= $\text{[math]}$ ．…3分
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC= $\text{[math]}$ ．…4分
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ac•cosB= $\text{[math]}$ ，ac=24．…6分
∵ $\text{[math]}$ ，C=2A，
∴c=2acosA= $\text{[math]}$ a，
解得 a=4，c=6，…8分
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2accosB=25，故b=5．
即边AC的长为 5． …10分
分析：（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A，利用二倍角公式求出cosC= $\text{[math]}$ ，再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和 sinA 的值，由cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
运算求得结果．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 求得 ac=24，再由 $\text{[math]}$ ，C=2A，可得 c=2acosA= $\text{[math]}$ a，姐方程求得a、c的值，再利用余弦定理求出b 的值，即为所求．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．