Question

设抛物线C₁：x²＝4y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称．

(Ⅰ)求曲线C₂的方程；

(Ⅱ)曲线C₂上是否存在一点P(异于原点)，过点P作C₁的两条切线PA，PB，切点A，B，满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程， 　　所以方程为．　5分 　　(Ⅱ)解：设，，，． 　　的导数为，则切线的方程， 　　又，得， 　　因点在切线上，故． 　　同理，． 　　所以直线经过两点， 　　即直线方程为，即， 　　代入得，则，， 　　所以， 　　由抛物线定义得，． 　　所以， 　　由题设知，，即， 　　解得，从而． 　　综上，存在点满足题意，点的坐标为 　　或．　15分

提示：

本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系、等差中项等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．