Question

如图，已知抛物线C₁：x²＝2py(p>0)与圆C₂：x²＋y²＝交于M、N两点，且∠MON＝120°.

(1)求抛物线C₁的方程；

(2)设直线l与圆C₂相切.

①若直线l与抛物线C₁也相切，求直线l的方程.

②若直线l与抛物线C₁交于不同的A、B两点，求·的取值范围.

Answer 1

(1)因为∠MON＝120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，所以点M的坐标为(，)，代入抛物线方程得()²＝2p×，求得p＝1，

所以抛物线C₁的方程为x²＝2y.

(2)由题意可设l：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，

因为l与圆C₂相切，所以＝，

即9b²＝16(k²＋1)　　(Ⅰ)

①设直线l与抛物线C₁：x²＝2y即y＝x²相切于点T(t，t²)，因为函数y＝x²的导数为y′＝x，所以　　　(Ⅱ)

由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得或

所以直线l的方程为y＝－2x－4或y＝2x－4.

②由得x²－2kx－2b＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝2k，x₁x₂＝－2b，且由Δ＝4k²＋8b>0得k²＋2b>0　　(Ⅲ)

由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得，解得b≥或b<－4，

所以·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(x₁x₂)²＋x₁x₂＝b²－2b∈[－，＋∞)，即·的取值范围是[－，＋∞).